Derivada

Derivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces limP'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene: f(x) - f(a) cateto opuesto tan α' = ----------- ( ---------------- ) x - a cateto adyacente


Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación: f(x) - f(a) tan α = lim tan α' = lim ----------- x->a x->a x - a


A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)
Definición
Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a: f(x) - f(a) f'(a) = lim ----------- x->a x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.
Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.

Demostración:

Por hipótesis, existe f(x) - f(a) lim ---------- x->a x - a


=> existe f(a) (1) lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) = x->a x->a f'(a) por H) ------^------ 0 (f(x) - f(a)) --^-- lim -------------(x - a) + f(a) = f(a) (2) x->a x - a


De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es continua en x=a.

El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Cualquier curva con una esquina o vértice en un punto no posee ahí una tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.
3 ___ f(x)= \|x2


no es derivable en x=0 pero es continua.

Derivada de las funciones elementales
f(x) = k k - k f'(a) = lim ------- = 0 x->a x - a => f'(x) = 0

f(x) = bx + c bx + c - ba - c b(x - a) f'(a) = lim --------------- = lim -------- = b x->a x - a x->a x - a => f'(x) = b

f(x) = xn xn - an f'(a) = lim --------- = x->a (x-a) (x - a)(xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + ... + an-1) lim ------------------------------------------ = nan-1 x->a (x-a) => f'(x) = nxn-1

f(x) = bxn bxn - ban b(xn - an) f'(a) = lim ---------- = lim ----------- = bnan-1 x->a x - a x->a x - a => f'(x) = bnxn-1

f(x) = Lx equiv. a x/a - 1 (límites tipo) --^-- Lx - La L(x/a) x - a 1 f'(a) = lim -------- = lim ------- = lim --------- = -- x->a x - a x->a x - a x->a a(x - a) a 1 => f'(x) = --- x

f(x)=logcx logcd = Ld/Lc | logcx - logca logc(x/a) | logc(x/a) 1 f'(a)=lim ------------- = lim ---------- = lim --------- = --- x->a x - a | x->a (x - a) x->a Lc(x - a) aLc | log a - log b = log(a/b) 1 => f'(x) = --- xLc

f(x) = ex equiv. a 1 (límites tipo) ---^--- ex - ea ea(ex-a - 1) f'(a) = lim --------- = lim ------------ = ea x->a x - a x->a x - a => f'(x) = ex

f(x) = bx equiv. a (x-a)Lb (límites tipo) ----^---- bx - ba ba(bx-a - 1) ba(x - a)Lb f'(a)=lim ------- = lim ------------ = lim ----------- = baLb x->a x - a x->a x - a x->a x - a => f'(x) = bxLb

f(x) = sen x equiv. a (x-a)/2 (límites tipo) -----^----- senx - sena 2sen((x-a)/2)cos((x+a)/2) f'(a)=lim ------------ = lim ------------------------- = x->a x - a x->a x - a 2(x - a)cos((x+a)/2) lim ------------------- = cos a x->a 2(x - a) => f'(x) = cosx

f(x) = cosx cos x - cos a -2sen((x-a)/2)sen((x+a)/2) f'(a) = lim ------------- = lim -------------------------- = x->a x - a x->a x - a -2(x-a)sen((x+a)/2) lim ------------------- = -sen a x->a 2(x - a) => f'(x) = -senx

f(x) = tgx 1 (límites tipo) ---^--- tgx - tga (*) tg(x-a) f'(a)=lim ---------- = lim ------- (1 + tgx.tga) = 1 + tg2a x->a x - a x->a (x-a) tgx - tga (*) Pues tg(x - a) = ------------ 1 + tgx.tga sen2a cos2a + sen2a 1 1 + ------ = ------------- = ---- cos2a cos2a cos2a 1 => f'(x)=1 + tg2x = ------- cos2x

n __ f(x)= \|x n __ \|x = x1/n 1 x(1-n)/n 1 1 f'(x)=(x1/n)'= --x1/n - 1 = ----------- = ------- = -------- n n nx(n-1)/n n ____ n \|xn-1 1 => f'(x) = --------- n ____ n \|xn-1

Continuidad

Continuidad

f(x)=x2


Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
f(x)=sgn x


En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.


Expresemos esto en términos del concepto de límite...
Definición
Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))


f(x) = x2 si x <= 2
2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pueslimx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0


Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Definición
Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) ylimx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) ylimx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.
Definición
Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)
Clasificación de discontinuidades
Evitable
Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:
f(x)= e-1/x2 + 2


No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable

Limites

Limite de una función
Un limite se calcula, siempre que sea posible, evaluando la función en el valor indicado. Por ejemplo, si f (x)= 3x2, el siguiente limite se puede calcular como se muestra a continuación:
lim f (x)= f (2)
x->2


En efecto:
lim f (x) =lim(3x2)= 3(2)2=f (2)=3(2)2 =12
x->2 x->2

Así que podemos enunciar la siguiente propiedad:

Si a es un elemento del dominio de f (x) y lim f (x) existe, entonces se cumple lo siguiente:


lim f(x) = f(a)
x->a

Limite de funciones polinomiales
Una función f es polinomial si es de la forma:


f(x)= anxn +an-1xn-1+an-2xn-2+…+a3x3+a2x2+a1x+a0

El dominio de cualquier polinomio son todos los números reales, es decir, domf = R


Ejemplo:
lim f(x) donde f(x)= 3x4-2x3+7x2-11x-4
x->2


limf (x) = f(2)
=3(2)4-2(2)3+7(2)2-11(2)-4=34


Limite de funciones racionales
A la función de la forma:


f(x)= P(x)/Q(x)


Se le llama función racional, donde Q (x) es diferente a 0. El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales, tal que el denominador sea diferente de cero.


Para este tipo de funciones no siempre es posible aplicar la propiedad:

lim f(x) =f (a)
x->a

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Al explicar las definiciones de límites, se utilizaron de manera informal, algunas propiedades fundamentales de la noción de límites; una relación de las mismas se presenta continuación:




ejemplo de limite determinación 0/0 
http://www.youtube.com/watch?v=8KbqzWjOWSY&feature=youtu.be


http://www.youtube.com/watch?v=Z5_GyMKJTVk&feature=related