Funciones

• Función: 

 Conjunto de pares ordenados (x,y) en los que no existen dos pares ordenados con el mismo primer número (es decir, con el mismo valor de “x” y diferente valor “y”).

Símbolo de función y = f ( x )
Se lee: “ y igual a f de x “
“ x “ es variable independiente.
“ y “ es variable dependiente.

Ejemplo:
Y = f ( x ) = x 2 - 2 x 

• Dominio de una función: 

Conjunto de todos los valores admisibles de la variable independiente, es decir, la variable “x”.

• Contradominio de una función: 

 El conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente “y”. Otros nombres para éste son: recorrido (poco empleado en cálculo); ámbito (termino muy reciente para este concepto); imagen (muy utilizado en álgebra y teoría de conjuntos); y rango (muy empleado en cálculo).

 

• Clasificación:

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

• InyectivoUna función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. 

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

• Sobreyectivo (o también "epiyectivo")Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

• Biyectiva:Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en Aque cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y
f(-2)=4)}

• Operaciones

SUMA DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:


         (f + g)(x) = f(x) + g(x)


Por ejemplo, si f(x) = f(x)=3x y g(x)=2

(f+g)(x) = 3x + 2 =5x




RESTA DE FUNCIONES

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función


(f - g)(x) = f(x) - g(x)


Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.



Por ejemplo, si f(x)=3x y g(x)=2
[f-g] (x)==3x-2=x






PRODUCTO DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por


(f.g)(x) = f(x).g(x)


Por ejemplo, si f(x)=3x y g(x)=2
[f.g] (x)= (3x)(2)=6x








COCIENTE DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por


(f/g)(x) = f(x)/g(x)


(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)